• 这是一篇对开关代数的总结,以便自己的查阅,相信也会对大家有一定的帮助。

开关代数是分析和综合逻辑电路的基础数学工具。它是英国著名数学家乔治·布尔(George Boole)首先提出来的。因此,开关代数也称为布尔代数,有时我们也将其称为逻辑代数。

在开关代数中,采用符号变量X,Y,Z等大写字母表示逻辑信号的状态,它们的取值只有两种可能就是0或1。这里均采用正逻辑习惯。

    • 开关代数的公理(采用(’) 符号表示非逻辑操作符,例如Y=X’,(+)为或逻辑操作符,(·)为与逻辑操作符)

1. 若X≠0,则X=1 1′.若X≠1,则X=0

2. 若X=0,则X’=1 2′.若X=1,则X’=0

3. 0·0=0 3′.1+1=1

4. 0·1=1·0=0 4′.1+0=0+1=1

5. 1·1=1 5′.0+0=0

    • 相关定理

1. X+0=X 1′.X·1=X (自等律)

2. X+1=1 2′.X·0=0 (0-1律)

3. X+X=X 3′.X·X=X (重叠律)

4. X+X’=1 4′.X·X’=0 (互补律)

5. (X’)’ =X (还原律)

6. X+Y=Y+X 6′.X·Y=Y·X (交换律)

7. (X+Y)+Z=X+(Y+Z) 7′.(X·Y)·Z=X·(Y·Z) (结合律)

8. X·Y+X·Z=X·(Y+Z) 8′.(X+Y)·(X+Z)=X+Y·Z (分配律)

9. X+X·Y=X 9′.X·(X+Y)=X (吸收律)

10. X·Y+X·Y’=X 10′.(X+Y)·(X+Y’)=X (组合律)

11. X·Y+X’·Z+Y·Z=X·Y+X’·Z 11′.(X+Y)·(X’+Z)·(Y+Z)=(X+Y)·(X’+Z) (一致律)

12. (X·Y)’=X’+Y’ 12′. (X+Y)’=X’·Y’ (摩根定律)

13. [F(X,Y,·,+)]’=F(X’,Y’,+,·) (广义摩根定律)

14. F(X,Y)=X·F(1,Y)+X’·F(0,Y) 14′.F(X,Y)=[X+F(0,Y)]·[X’+F(1,Y)] (香浓展开定理)

15. FD(X,Y,·,+,’)=F(X,Y,+,·,’) (对偶性)

以上的定理都可由公理证之,此处略之如需要的话可以发e-mail给我。